【在空间曲面上行走的坐标问题已知空间圆柱面X^2+Y^2=a-查字典问答网

来自季金奎的问题

　　【在空间曲面上行走的坐标问题已知空间圆柱面X^2+Y^2=a^2有一物体沿曲面在点P朝T方向移动N的距离（P点坐标和向量T和距离N为已知）,求移动到的新坐标是多少.希望有推导过程,】

　　在空间曲面上行走的坐标问题

　　已知空间圆柱面X^2+Y^2=a^2

　　有一物体沿曲面在点P朝T方向移动N的距离（P点坐标和向量T和距离N为已知）,求移动到的新坐标是多少.希望有推导过程,

1回答

2020-10-1302:39

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计智伟

　　先建立柱面坐标,这样柱面上的点P=(x,y,z)=(acosθ,asinθ,z)

　　柱面上P点处两个切方向分别为

　　T1=(-asinθ,acosθ,0)

　　T2=(0,0,1)

　　所以T可以分解为T=uT1+vT2,u,v是固定常数

　　令f是柱面到平面的映射,f(P)=(aθ,z),容易验证f是等距,也就是

　　说,如果将柱面展开的平面上,f刚好将展开前的点对应到展开后的点.

　　所以可以在平面上来讨论该问题.

　　df(T1)=(a,0)

　　df(T2)=(0,1)

　　df(T)=(ua,v)

　　在平面上,从点(aθ,z)出发,依照方向df(T)=(ua,v)前进N,

　　适当选择u,v的大小,不妨设df(T)是单位向量,则

　　得到的新点位置是(aθ,z)+N(ua,v)=(aθ+Nua,z+Nv)

　　再使用f的逆映射,得到柱面上的新点柱面坐标是(θ+Nu,z+Nv)

　　其x,y,z坐标是(acos(θ+Nu),asin(θ+Nu),z+Nv)

2020-10-13 02:42:57

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