郭敦顒回答：

　　抽象地讲容斥原理,确实不易理解,那么我就很通俗地说一下——

　　容斥原理即逐步淘汰法,也叫筛法,在数论中占有非常重要的地位,最著明的筛法是爱拉托斯特尼筛法：为找出≤x的所有素数,写下所有≤x的自然数构成的序列2,3,4,5,…,x；从4往下划掉2的倍数,再从6往下划掉3的倍数,从10往下划掉5的倍数,依此继续下去,精确地说,在第k步后,没有划掉的k＋1个最小的数是素数,而如果Pk＋1是其中最大者,则k＋1步就是从2Pk＋1往下划掉Pk＋1的倍数．我们会在最后一个素数Pr处停下,Pr≤√x．事实上,如果自然数m满足√x＜m≤x且未被划去,则它不可能是一个积ab,其中a＞1,b＞1,因为否则数a和b至少有一个会≤√x,因此m会被已经找到的素数之一整除从而应当会被划去．这样,所有未被划去且＞√x的数是素数．

　　上面对为找出≤x的所有素数,写下所有≤x的自然数构成的序列2,3,4,5,…,x；从4往下划掉2的倍数,再从6往下划掉3的倍数,从10往下划掉5的倍数,依此继续下去,精确地说,在第k步后,没有划掉的k＋1个最小的数是素数,而如果Pk＋1是其中最大者,则k＋1步就是从2Pk＋1往下划掉Pk＋1的倍数．我们会在最后一个素数Pr处停下,Pr≤√x．事实上,如果自然数m满足√x＜m≤x且未被划去,则它不可能是一个积ab,其中a＞1,b＞1,因为否则数a和b至少有一个会≤√x,因此m会被已经找到的素数之一整除从而应当会被划去．这样,所有未被划去且＞√x的数是素数．

　　上面对爱氏筛法的描述只涉及到他筛法的操作方法步骤,并未涉及到其计算问题,下面谈谈其筛法的计算问题,这就涉及到容斥原理了.

　　如求小于210的奇素数,及个数.小于210的奇素数的个数记为p（1,210）

　　小于210的奇数是1,3,5,7,9,…,207,209

　　3为素数（略去了“奇”字,下同）,

　　小于210的素数3的奇合数的个数h₃=210/（2×3）－1=35－1=34,

　　小于210的素数3的奇合数集合记为H₃={9,15,21,27,33,…,201,207}

　　5为素数,小于210的素数5的奇合数的个数h₅=210/（2×5）－1=21－1=20,

　　小于210的素数5的奇合数集合记为H₅={15,25,45,45,…,195,205}

　　7为素数,小于210的素数7的奇合数的个数h₇=210/（2×7）－1=15－1=14,

　　小于210的素数7的奇合数集合记为H₇={21,35,49,63,…,189,203}

　　11为素数,小于210的素数11的奇合数的个数h₁₁=210/（2×11）－1=10－1=9,

　　小于210的素数11的奇合数集合记为H₁₁={33,55,77,99,121,143,165,187,209},

　　13为素数,小于210的素数13的奇合数的个数h₁₃=210/（2×13）－1=8－1=7,

　　小于210的素数13的奇合数记为H₁₃={39,65,91,117,143,169,195}

　　13为小于√210的最大素数了,再大的素数为17,17²=289＞20与问题无关了.

　　3与5的二合数最小的是15,3与5的二合数的个数记为h₍₃.₅₎,

　　h₍₃.₅₎=210/（2×15）=7,（均在小于210的范围内,下同）

　　3与5的二合数的集合记为H₍₃.₅₎,H₍₃.₅₎={15,45,75,105,135,165,195}；

　　3与7的二合数最小的是21,3与7的二合数的个数记为h₍₃.₇₎,

　　h₍₃.₇₎=210/（2×21）=5,

　　3与7的二合数的集合记为H₍₃.₇₎,H₍₃.₇₎={21,63,105,147,189}；

　　3与11的二合数最小的是33,3与11的二合数的个数记为h₍₃.₁₁₎,

　　h₍₃.₁₁₎=210/（2×33）=3,

　　3与11的二合数的集合记为H₍₃.₁₁₎,H₍₃.₁₁₎={33,99,165,}；

　　3与13的二合数最小的是39,3与13的二合数的个数记为h₍₃.₁₃₎,

　　h₍₃.₁₃₎=210/（2×39）=3,

　　3与13的二合数的集合记为H₍₃.₁₃₎,H₍₃.₁₃₎={39,117,195}；

　　5与7的二合数最小的是35,5与7的二合数的个数记为h₍₅.₇₎,

　　h₍₅.₇₎=210/（2×35）=3,

　　5与7的二合数的集合记为H₍₅.₇₎,H₍₅.₇₎={35,105,175}；

　　5与11的二合数最小的是55,5与11的二合数的个数记为h₍₅.₁₁₎,

　　h₍₅.₁₁₎=210/（2×55）=2,

　　5与11的二合数的集合记为H₍₅.₁₁₎,H₍₅.₁₁₎={55,165}；

　　5与13的二