设A,B,C两两独立,且A与B∪C独立,证明：A,B,C相互-查字典问答网

来自沈韬的问题

　　设A,B,C两两独立,且A与B∪C独立,证明：A,B,C相互独立

1回答

2020-09-2300:46

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李武皋

　　要证A,B,C相互独立,因为A,B,C两两独立,所以只需证明P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

　　已知两两独立,即P(AB)=P(A)P(B);P(AC)=P(A)P(C);P(BC)=P(B)P(C)

　　已知A与B∪C独立,即P(A(B∪C))=P(A)P(B∪C).①

　　因为P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)

　　=P(B)+P(C)-P(B)P(C)

　　所以有P(A)P(B∪C)=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C).②

　　又P(A(B∪C))=P(AB∪AC)

　　=P(AB)+P(AC)-P(ABC).③

　　所以联立①②③可得

　　P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

　　从而A,B,C相互独立!

2020-09-23 00:51:54

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