（Ⅰ）因为f（x）=ax2+bx+c,所以f'（x）=2ax+b．

　　又曲线y=f（x）在点（-1,f（-1））处的切线垂直于y轴,故f'（-1）=0,

　　即-2a+b=0,因此b=2a．①

　　因为f（-1）=0,所以b=a+c．②

　　又因为曲线y=f（x）通过点（0,2a+3）,

　　所以c=2a+3．③

　　解由①,②,③组成的方程组,得a=-3,b=-6,c=-3．

　　从而f（x）=-3x2-6x-3．

　　所以F(x)=-3(x+1)2x＞03(x+1)2x＜0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=-3x2-6x-3,

　　所以g（x）=kx-f（x）=3x2+（k+6）x+3．

　　由g（x）在[-1,1]上是单调函数知：-k+66≤-1或-k+66≥1,

　　得k≤-12或k≥0

　　（Ⅲ）因为f（x）是偶函数,可知b=0．

　　因此．

　　又因为mn＜0,m+n＞0,

　　可知m,n异号．

　　若m＞0,则n＜0．

　　则F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+c-an2-c=a（m+n）（m-n）＞0．

　　若m＜0,则n＞0．

　　同理可得F（m）+F（n）＞0．

　　综上可知F（m）+F（n）＞0．