大一高数微积分题,设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在-查字典问答网

来自胡宇的问题

　　大一高数微积分题,设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)的导+f(ξ)=0

　　大一高数微积分题,

　　设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明：在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)的导+f(ξ)=0

1回答

2019-05-2317:04

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单以才

　　设g(x)=f(x)*e^x,g'(x)=f'(x)*e^x+f(x)*e^x=[f'(x)+f(x)]*e^x

　　则g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导

　　且g(a)=f(a)*e^a=0,g(b)=f(b)*e^b=0,

　　由拉格朗日中值定理知,

　　存在ξ,ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0.

　　即[f'(ξ)+f(ξ)]*e^ξ=0,而e^ξ>0

　　所以f'(ξ)+f(ξ)=0.

2019-05-23 17:08:24

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