求定积分∫arcsin根号（x/(1+x)dx等-查字典问答网

来自杜沧的问题

　　求定积分∫arcsin根号（x/(1+x)dx等

1回答

2020-08-1919:49

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田夫汉

　　做两题吧,用不定积分方法

　　1.∫arcsin[x/(x+1)]^(1/2)dx

　　=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)

　　-∫x/[1-x/(x+1)]*(1/2)*[(x+1)/x]^(1/2)*(x+1)^(-2)dx

　　=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-∫x^(1/2)/2(x+1)dx

　　=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-∫1/2x^(1/2)-1/2x^(1/2)*(x+1)dx

　　=xarcsin[x/(x+1)]^(1/2)-x^(1/2)+arctan[x^(1/2)]+C

　　可得定积分为4pi/3-3^(1/2)

　　3.令t=1/x则dx=-dt/t^2

　　∫dx/x(3x^2-2x-1)^(1/2)

　　=∫-(dt/t^2)*t|t|/(3-2t-t^2)^(1/2)

　　=-sgn(t)∫dt/[4-(t+1)^2]^(1/2)

　　=-sgn(t)arcsin[(t+1)/2]+C

　　=-sgn(x)arcsin[(x+1)/2x]+C

　　可得定积分为pi/2-arcsin(3/4)

2020-08-19 19:53:56

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