是否存在常数a,b,c使得等式1²+3²-查字典问答网

来自刘保录的问题

　　是否存在常数a,b,c使得等式1²+3²+5²+…+（2n-1）²=1/3an(bn²+c),对n∈N﹡都成立

1回答

2020-08-0415:30

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陈有光

　　这是数学分析或者是高等数学的内容了吧.

　　其实,可以当作数项求和来做.

　　1^2+2^2+...+n^2=n(2n+1)(n+1)/6

　　则：T=1^2+2^2+...+(2n)^2=n(4n+1)(2n+1)/3

　　令：S1=1^2+3^2+...+(2n-1)^2

　　S2=2^2+4^2+...+(2n)^2

　　S2-S1=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+.+(2n)^2-(2n-1)^2

　　令ak=4k-1则a1+a2+...+an=S2-S1=2n^2+n

　　又由于S1+S2=T=n(4n+1)(2n+1)/3

　　联立可以解得：S1=n(4n^2-1)/3

　　即：a=1,b=4,c=-1.

　　还有另外一种思路：将n=1,n=2,n=3带入,求出abc的值.然后用数学归纳法进行证明,该abc对N*都成立.

2020-08-04 15:33:03

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