数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科.通过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.数学家们拓展这些概念,为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理.

　　数学属性是任何事物的可量度属性,即数学属性是事物最基本的属性.可量度属性的存在与参数无关,但其结果却取决于参数的选择.例如：时间,不管用年、月、日还是用时、分、秒来量度；空间,不管用米、微米还是用英寸、光年来量度,它们的可量度属性永远存在,但结果的准确性与这些参照系数有关.

　　数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学.简单地说,是研究数和形的科学.由于生活和劳动上的需求,即使是最原始的民族,也知道简单的计数,并由用手指或实物计数发展到用数字计数.

　　基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块.其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见.从那时开始,其发展便持续不断地有小幅的进展,直至16世纪的文艺复兴时期,因著和新科学发现相作用而生成的数学革新导致了知识的加速,直至今日.

　　今日,数学被使用在世界上不同的领域上,包括科学、工程、医学和经济学等.数学对这些领域的应用通常被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并导致全新学科的发展.数学家亦研究没有任何实际应用价值的纯数学,即使其应用常会在之后被发现.

　　创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派认为：数学,至少纯粹数学,是研究抽象结构的理论.结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统.布学派认为,有三种基本的抽象结构：代数结构（群,环,域……）,序结构（偏序,全序……）,拓扑结构（邻域,极限,连通性,维数……）.

　　数学古称算学,是中国古代科学中一门重要的学科,根据中国古代数学发展的特点,可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合.

　　中国古代数学的萌芽

　　原始公社末期,私有制和货物交换产生以后,数与形的概念有了进一步的发展,仰韶文化时期出土的陶器,上面已刻有表示1234的符号.到原始公社末期,已开始用文字符号取代结绳记事了.

　　西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形为100个小正方形的图案,半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形.为了画圆作方,确定平直,人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量工具.据《史记·夏本纪》记载,夏禹治水时已使用了这些工具.

　　商代中期,在甲骨文中已产生一套十进制数字和记数法,其中最大的数字为三万；与此同时,殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代,又把以前用阴、阳符号构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦,表示64种事物.

　　公元前一世纪的《周髀算经》提到西周初期用矩测量高、深、广、远的方法,并举出勾股形的勾三、股四、弦五以及环矩可以为圆等例子.《礼记·内则》篇提到西周贵族子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法,他们要受礼、乐、射、驭、书、数的训练,作为“六艺”之一的数已经开始成为专门的课程.

　　春秋战国之际,筹算已得到普遍的应用,筹算记数法已使用十进位值制,这种记数法对世界数学的发展是有划时代意义的.这个时期的测量数学在生产上有了广泛应用,在数学上亦有相应的提高.

　　战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关.名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不同,他们提出“矩不方,规不可以为圆”,把“大一”(无穷大)定义为“至大无外”,“小一”(无穷小)定义为“至小无内”.还提出了“一尺之棰,日取其半,万世不竭”等命题.

　　而墨家则认为名来源于物,名可以从不同方面和不同深度反映物.墨家给出一些数学定义.例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等.

　　墨家不同意“一尺之棰”的命题,提出一个“非半”的命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点.

　　名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列,墨家的命题则指出了这种无限分割的变化和结果.名家和墨家的数学定义和数学命题的讨论,对中国古代数学理论的发展是很有意义的.

　　中国古代数学体系的形成

　　秦汉是封建社会的上升时期,经济和文化均得到迅速发展.中国古代数学体系正是形成于这个时期,它的主要标志是算术已成为一个专门的学科,以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现.

　　《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结,就其数学成就来说,堪称是世界数学名著.例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等,水平都是很高的.其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的.就其特点来说,它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系.

　　《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主,很少涉及图形性质；重视应用,缺乏理论阐述等.

　　这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的.秦汉时期,一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度,以及发展社会生产服务,强调数学的应用性.最后成书于东汉初年的《九章算术》,排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论,偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法,这与当时社会的发展情况是完全一致的.

　　《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本,并成为这些国家当时的数学教科书.它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过印度、阿拉伯传到欧洲,促进了世界数学的发展.

　　中国古代数学的发展

　　魏、晋时期出现的玄学,不为汉儒经学束缚,思想比较活跃；它诘辩求胜,又能运用逻辑思维,分析义理,这些都有利于数学从理论上加以提高.吴国赵爽注《周髀算经》,汉末魏初徐岳撰《九章算术》注,魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期.赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础.

　　赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一.他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献.在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中,他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式,赵爽的工作是带有开创性的,在中国古代数学发展中占有重要地位.

　　刘徽约与赵爽同时,他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想,主