一．线性插值(一次插值）

　　已知函数f(x)在区间[xk,xk+1]的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=P1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点.

　　1.插值函数和插值基函数

　　由直线的点斜式公式可知：

　　把此式按照yk和yk+1写成两项:

　　记

　　并称它们为一次插值基函数.该基函数的特点如下表：

　　从而

　　P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)

　　此形式称之为拉格朗日型插值多项式.其中,插值基函数与yk、yk+1无关,而由插值结点xk、xk+1所决定.一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.

　　例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值.

　　f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设

　　x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010

　　则插值基函数为：

　　于是,拉格朗日型一次插值多项式为:

　　故:

　　即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).

　　二．二次插值多项式

　　已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式P2(x),使其满足,

　　P2(xk-1)=yk-1,P2(xk)=yk,P2(xk+1)=yk+1.

　　其几何意义为:已知平面上的三个点

　　(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),

　　求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点.

　　1.插值基本多项式

　　有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式,要求满足：

　　(1)基本多项式为二次多项式；(2)它们的函数值满足下表：

　　因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设

　　lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),

　　又因为

　　lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=1

　　得

　　从而

　　同理得

　　基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”).

　　2.拉格朗日型二次插值多项式

　　由前述,拉格朗日型二次插值多项式:

　　P2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),P2(x)

　　是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:

　　P2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1).

　　例2已知：

　　xi101520

　　yi=lgxi11.17611.3010

　　利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值.

　　设x0=10,x1=15,x2=20,则:

　　故:

　　所以

　　7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了.

　　三、拉格朗日型n次插值多项式

　　已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为

　　y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使其满足:

　　Pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),

　　即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式.

　　1.插值基函数

　　过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数

　　l0(x),l1(x),…,ln(X)

　　每个插值基本多项式li(x)满足：

　　(1)li(x)是n次多项式;

　　(2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i).

　　由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子:

　　(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)

　　因其已经是n次多项式,故而仅相差一个常数因子.令:

　　li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)

　　由li(xi)=1,可以定出a,进而得到：

　　2.n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)

　　Pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn.即:

　　Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),

　　从而Pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足

　　Pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).

　　例3求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式.

　　解用4次插值多项式对5个点插值.

　　所以

　　四、拉格朗日插值多项式的截断误差

　　我们在[a,b]上用多项式Pn(x)来近似代替函数f(x),其截断误差记作

　　Rn(x)=f(x)-Pn(x)

　　当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-Pn(xi)=0,下面来估计截断误差：

　　定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在[a,b]上连续,

　　y(n+1)=f(n+1)(x)

　　在(a,b)上存在；插值结点为:

　　a≤x0