矩阵可逆从几何上来说,证明这个矩阵是满秩的,也就是如果用它的所有行向量线性组合,一定可以铺满整个n维空间,如果用它的所有列向量线性组合,也一定可以铺满整个n维空间.

　　（但是这并不证明两两行向量之间正交,除非该矩阵不仅可逆,还正交,列也同理.）

　　在代数上来说,矩阵可逆证明矩阵A和某个矩阵左乘或右乘一定能得到I.换句话说,暗示了矩阵A可以类似于普通代数里边,用作分母.

　　再看和行列式的关系.我们知道,一个矩阵行列之间彼此相加减是不改变行列式的结果的.（而彼此行列想加减的过程,相当于矩阵左乘了一个线性变换矩阵P（也就是行变换）,或者是右乘了P（也就是列变换）,而且行列相加减的过程对应的线性变换矩阵P必可逆.从而,）矩阵A经过这样的行列加减变化之后,得到的新矩阵仍然具有可逆性.所以,一个矩阵一定可以通过这样的行列加减消掉下三角部分,得到新的矩阵A'.（就是高斯消元的过程.）

　　对于缺少下三角部分的矩阵,行列式很容易求得：行列式就是主对角元的乘积.当且仅当A'是上三角阵,也就是主对角元都不为0,行列式才不为0.

　　另一方面,要是A'最后有k行全为0了,说明A'不满秩,由于A'是A通过可逆变换变过来的,所以A也不满秩,A的稚为(n-k),也就是不可逆.因此,A要是可逆,得到的A'一定主对角元全都不为0.

　　所以我们说,行列式不为0是可逆的充要条件.

　　最后再看可逆和解方程Ax=0的关系.由高斯消元知,要是A'主对角元上全都不为0,（也就是A可逆,）那么x具有唯一解,也就是解集是0维空间.要是A'下边有k行等于0,在则此时方程有一系列解,因为此时只有(n-k)个方程,却有n个变量,所以可以得到解必然由k个线性无关的向量线性组合得到,也就是解空间是个k维空间,对应地,A的秩仅有(n-k).

　　因而,=相当于做了这么一个处理.对于n维空间,A的列向量（必须是列向量）组成了一个(n-k)维不变子空间,（当且仅当k=0时候,A的列向量组成的空间就是原来的n维空间,也就是此时A可逆,）而Ax=0的解集是个k维空间.通过分析可以知道,A的列向量空间和解集空间完全没有交集（当然,除了0向量）.所以,n维空间恰好是A的列向量空间和解空间的直和.