1.f(x-z,y-z)=0,其中f（u,v）是可微函数,证明:偏z/偏x+偏z/偏y=12.设z=（1+x*x*y）^y(y>0)求全微分dz这个题目我是这么想的,首先dz=（偏z/偏x）dx+（偏z/偏y）dy那么只要算出（偏z/偏x）和（偏z/偏y）就可
1.f(x-z,y-z)=0,其中f（u,v）是可微函数,证明:偏z/偏x+偏z/偏y=1
2.设z=（1+x*x*y）^y(y>0)
求全微分dz
这个题目我是这么想的,首先dz=（偏z/偏x）dx+（偏z/偏y）dy
那么只要算出（偏z/偏x）和（偏z/偏y）就可以了,现在先算（偏z/偏x）那么就把函数看成x^n形式的,我会做的.现在做（偏z/偏y）,这时候把函数看成是什么形式的啊?是不是a^u型啊?
注意：x^n形式就是（x^n）’=n[(x)^(n-1)]x’
a^u形式就是（a^u）’=(a^u)(lna)u’
特别是偏z/偏y的时候啊?
偏微分符号不好打,我就用D代表偏微分,d代表全微分,你将就着看吧!
1、Df/Dx=Df/Du*Du/Dx+Df/Dv*Dv/Dx=(1-Dz/Dx)*Df/Du-Dz/Dx*Df/Dv=0,所以：Df/Du-Dz/Dx*(Df/Du+Df/Dv)=0……①,同理利用Df/Dy=0可证：Df/Dv-Dz/Dy*(Df/Du+Df/Dv)=0……②,①+②即得Dz/Dx+dz/Dy=1,1得证.
说明Du/Dx=D(x-z)/Dx=Dx/Dx-Dz/Dx=1-Dz/Dx,Dv/Dx=Dy/Dx-Dz/Dx=-Dz/Dx……
2、先取对数则可免去指数求导的麻烦：由z=（1+x*x*y）^y得lnz=yln(1+x*x*y),于是dlnz=dz/z=[Dyln(1+x^2y)/Dx]dx+[Dyln(1+x^2y)/Dy]dy=[2xy^2/(1+x^2y)]dx+[ln(1+x^2)+x^2y/(1+x^2y)]dy,于是dz=z*dz/z=（1+x*x*y）^y*{[2xy^2/(1+x^2y)]dx+[ln(1+x^2)+x^2y/(1+x^2y)]dy}.
当然你也可以直接计算,因为对y求偏导,x可以不管,求dU(y)^y/dy,要分两步,即先将指数的y看成常数不动求du^n/dy的形式du^n/dy=nu^(n-1)du/dy,然后u看成常数求da^y/dy=lna*a^y,所以合起来就是dU(y)^y/dy=u^y*lnu+y*u^(y-1)*du/dy,或者你也可以先取对数lnz=ylnu,再对lnz求偏导就很容易了,总之对于指数形式的函数,先将函数取对数再求导总是要容易一些,也不容易出错.
上面的计算我没检验,你再验算一遍吧!
