∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0,将x都改成π/2-x;得

　　∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0=-∫ln(cosx)dx上限是0,下限是π/2

　　=∫ln(cosx)dx上限是π/2,下限是0;(*)

　　同理（*）式中再将x都变成x-π/2,得：

　　∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0=∫ln(sinx)dx上限是π,下限是π/2；

　　于是∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0=二分之一倍的∫ln(sinx)∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0

　　∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0+∫ln(cosx)dx上限是π/2,下限是0+∫ln(2)dx上限是π/2,下限是0

　　=∫ln(2*sinx*cosx)dx上限是π/2,下限是0

　　=∫ln(sin2x)dx上限是π/2,下限是0

　　=(1/2)*∫ln(sinx)dx上限是π,下限是0

　　=∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0

　　所以可得：

　　∫ln(sinx)dx上限是π/2,下限是0=-∫ln(2)dx上限是π/2,下限是0

　　=-π*ln(2)/2