柯西中值定理证明：f(a)-f(m)/g(m)-g(b)=f-查字典问答网

来自黄敬堂的问题

　　柯西中值定理证明：f(a)-f(m)/g(m)-g(b)=f'(m)/g'(m)f(x),g(x)满足在区间a,b连续可导,g'(x)不等于0m是区间内的数{f(a)-f(m)}与{g(m)-g(b)}是在一个括号里面的，主要意思是上面的除以下面的。

　　柯西中值定理证明：f(a)-f(m)/g(m)-g(b)=f'(m)/g'(m)f(x),g(x)满足在区间a,b连续可导,g'(x)不等于0

　　m是区间内的数

　　{f(a)-f(m)}与{g(m)-g(b)}是在一个括号里面的，主要意思是上面的除以下面的。

1回答

2020-07-2322:44

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郭常忠

　　证明：

　　方法1

　　不防记F(x)=g(x)[f(x)-f(a)],

　　则f(x)与F(x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件,

　　可知至少存在一点m属于(a,b)使得

　　[F(b)-F(a)]/[f(b)-f(a)]=F'(m)/f'(m),

　　即g(b)={g'(m)[f(m)-f(a)]+f'(m)g(m)}/f'(m),整理即得证.

　　方法2.

　　记F(x)=[f(x)-f(a)][g(x)-g(b)],

　　由题知F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又F(a)=F(b)=0,因此F(x)在[a,b]上满足罗尔定理,可知至少存在一点m属于(a,b)使得

　　F'(m)=0,

　　即f'(m)[g(m)-g(b)]+g'(m)[f(m)-f(a)]=0,整理即得证.

2020-07-23 22:49:20

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