素数是这样的整数,它除了能表示为它自己和1的乘积以外,不能表示为任何其它两个整数的乘积.例如,15＝3＊5,所以15不是素数；又如,12＝6＊2＝4＊3,所以12也不是素数.另一方面,13除了等于13＊1以外,不能表示为其它任何两个整数的乘积,所以13是一个素数.

　　有的数,如果单凭印象去捉摸,是无法确定它到底是不是素数的.有些数则可以马上说出它不是素数.一个数,不管它有多大,只要它的个位数是2、4、5、6、8或0,就不可能是素数.此外,一个数的各位数字之和要是可以被3整除的话,它也不可能是素数.但如果它的个位数是1、3、7或9,而且它的各位数字之和不能被3整除,那么,它就可能是素数（但也可能不是素数）.没有任何现成的公式可以告诉你一个数到底是不是素数.你只能试试看能不能将这

　　个数表示为两个比它小的数的乘积.

　　找素数的一种方法是从2开始用“是则留下,不是则去掉”的方法把所有的数列出来（一直列到你不想再往下列为止,比方说,一直列到10,000）.第一个数是2,它是一个素数,所以应当把它留下来,然后继续往下数,每隔一个数删去一个数,这样就能把所有能被2整除、因而不是素数的数都去掉.在留下的最小的数当中,排在2后面的是3,这是第二个素数,因此应该把它留下,然后从它开始往后数,每隔两个数删去一个,这样就能把所有能被3整除的数全都去掉.下一个未去掉的数是5,然后往后每隔4个数删去一个,以除去所有能被5整除的数.再下一个数是7,往后每隔6个数删去一个；再下一个数是11,往后每隔10个数删一个；再下一个是13,往后每隔12个数删一个.……就这样依法做下去.

　　你也许会认为,照这样删下去,随着删去的数越来越多,最后将会出现这样的情况；某一个数后面的数会统统被删去崮此在某一个最大的素数后面,再也不会有素数了.但是实际上,这样的情况是不会出现的.不管你取的数是多大,百万也好,万万也好,总还会有没有被删去的、比它大的素数.

　　事实上,早在公元前300年,希腊数学家欧几里得就已证明过,不论你取的数是多大,肯定还会有比它大的素数,假设你取出前6个素数,并把它们乘在一起：2＊3＊5＊7＊11＊13＝30030,然后再加上1,得30031.这个数不能被2、3、5、7、11、13整除,因为除的结果,每次都会余1.如果30031除了自己以外不能被任何数整除,它就是素数.如果能被其它数整除,那么30031所分解成的几个数,一定都大于13.事实上,30031＝59＊509.

　　对于前一百个、前一亿个或前任意多个素数,都可以这样做.如果算出了它们的乘积后再加上1,那么,所得的数或者是一个素数,或者是比所列出的素数还要大的几个素数的乘积.不论所取的数有多大,总有比它大的素数,因此,素

　　数的数目是无限的.

　　随着数的增大,我们会一次又一次地遇到两个都是素数的相邻奇数对,如5,7；11,13；17,19；29,31；41,43；等等.就数学家所能及的数来说,它们总是能找到这样的素数对.这样的素数对到底是不是有无限个呢?谁也不知道.数学家认为是无限的,但他们从来没能证明它.这就是数学家为什么对素数感兴趣的原因.素数为数学家提供了一些看起来很容易、但事实却非常难以解决的问题,他们目前还没能对付这个挑战哩.

　　迄今为止,人类发现的最大的素数是224036583-1,这是第41个梅森(Mersenne)素数.

　　素数也叫质数,是只能被自己和1整除的数,例如2、3、5、7、11等.2500年前,希腊数学家欧几里德证明了素数是无限的,并提出少量素数可写成“2的n次方减1”的形式,这里n也是一个素数.此后许多数学家曾对这种素数进行研究,17世纪的法国教士马丁·梅森(MartinMersenne)是其中成果较为卓著的一位,因此后人将“2的n次方减1”形式的素数称为梅森素数.

　　第19~41个梅森素数

　　序号素数位数发现人时间

　　41224036583-17235733JohnFindley2004

　　40220996011-16320430MichaelShafer2003

　　39213466917-14053946MichaelCameron2001

　　3826972593-12098960Nayan,Woltman,Kurowski1999

　　3723021377-1909526Clarkson,Woltman,Kurowski1998

　　3622976221-1895932Spence,Woltman1997

　　3521398269-1420921Armengaud,Woltman1996

　　3421257787-1378632Slowinski&Gage1996

　　332859433-1258716Slowinski&Gage1994

　　322756839-1227832Slowinski&Gage1992

　　312216091-165050DavidSlowinski1985

　　302132049-139751DavidSlowinski1983

　　292110503-133265Welsh&Colquitt1988

　　28286243-125962DavidSlowinski1982

　　27244497-113395Slowinski&Nelson1979

　　26223209-16987L.CurtNoll1979

　　25221701-16533Nickel&Noll1978

　　24219937-16002BryantTuckerman1971

　　23211213-13376DonaldB.Gillies1963

　　2229941-12993DonaldB.Gillies1963

　　2129689-12917DonaldB.Gillies1963

　　2024423-11332AlexanderHurwitz1961

　　1924253-11281AlexanderHurwitz1961

　　1995年,美国程序设计师乔治·沃特曼整理有关梅森素数的资料,编制了一个梅森素数计算程序,并将其放置在因特网上供数学爱好者使用,这就是“因特网梅森素数大搜索”计划.目前有6万多名志愿者、超过20万台计算机参与这项计划.该计划采取分布式计算方式,利用大量普通计算机的闲置时间,获得相当于超级计算机的运算能力,第37、38和39个梅森素数都是用这种方法找到的.美国一家基金会还专门设立了10万美元的奖金,鼓励第一个找到超过千万位素数的人.