已知：函数，有唯一的根．（1）求a，b的值；（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证为等差数列，并求出{an}的通项公式．（3）是否存在这样的数列{bn}满足：
已知：函数，有唯一的根．
（1）求a，b的值；
（2）数列{an}对n≥2，n∈N总有an=f（an-1），a1=1；求证为等差数列，并求出{an}的通项公式．
（3）是否存在这样的数列{bn}满足：{bn}为{an}的子数列（即{bn}中的每一项都是{an}的项）且{bn}为无穷等比数列，它的各项和为．若存在，找出一个符合条件的数列{bn}，写出它的通项公式；若不存在，说明理由．
分析：
（1）根据f（2）的值建立关于a和b的等量关系，解法一：根据f（x）=x有唯一根，可得ax2+（b-1）x=0有唯一根，利用判别式进行求解，求出a和b的值；解法二：根据f（x）=x有唯一根，可得x（-1）=0，解得一根为0，从而-1=0的根也是x=0，可求出a和b的值；（2）将取倒数，化简可得{}为等差数列，从而求出{an}的通项公式．（3）设{bn}的首项为，公比为q，然后求出这个无穷等比数列的各项和可得到m和q的等量关系，然后任意求出一组符合题意数列即可．
（1）（1分）解法一：f（x）=x有唯一根，所以即ax2+（b-1）x=0有唯一根，（1分）∴△=（b-1）2=0，（1分）b=1a=1（1分）有b=1a=1得：方程的根为：x=0（1分）经检验x=0是原方程的根（1分）解法二：=xx（-1）=0（1分）x1=0，因为方程有唯一的根（1分）即：-1=0的根也是x=0，（1分）得b=1a=1（1分）经检验x=0是原方程的根（1分）（2）（2分）∴{}为等差数列（1分）∴（2分）所以（1分）（3）设{bn}的首项为，公比为q（）所以这个无穷等比数列的各项和为：，；当m=3时，，；当，（6分）
点评：
本题主要考查了等差数列的判定和数列的求和，同时考查了方程的根的有关问题，属于中档题．
