已知函数f（x）=x3-3ax2+4，若f（x）存在唯一的零-查字典问答网

来自董新民的问题

　　已知函数f（x）=x3-3ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，3）B.（-∞，1）C.（-1，+∞）D.（-3，+∞）

　　已知函数f（x）=x3-3ax2+4，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0<0，则实数a的取值范围为（）

　　A.（-∞，3）

　　B.（-∞，1）

　　C.（-1，+∞）

　　D.（-3，+∞）

1回答

2020-06-2406:57

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何光林

　　∵f（x）=x3-3ax2+4，

　　∴f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a），

　　①当a>0时，

　　f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2a）上是减函数，在（2a，+∞）上是增函数；

　　又f（0）=4>0，故只需要f（2a）=8a3-12a3+4>0，

　　解得0<a<1；

　　②当a=0时，

　　f（x）=x3+4在（-∞，+∞）上是增函数，且f（0）=4>0；

　　故f（x）存在唯一的零点x0，且x0<0；

　　③当a<0时，

　　f（x）在（-∞，2a）上是增函数，在（2a，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，且f（0）=4>0，

　　故f（x）满足存在唯一的零点x0，且x0<0；

　　综上所述，

　　实数a的取值范围为（-∞，1），

　　故选B．

2020-06-24 06:59:41

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